Matemaattinen ongelma tai jotain

  • Keskustelun aloittaja Keskustelun aloittaja Nor
  • Aloitettu Aloitettu
Repe Sorsa sanoi:
Itse asiassa sama matemaattinen ongelma voidaan esittää myös toisella kansantajuisemmalla kysymyksellä:

Perheeseen syntyy tyttö. Mikä on todennäköisyys, että tyttö saa veljen, kun seuraava lapsi syntyy?
Click to expand...

Ei voida, jos viittaat Integrandin alkuperäiseen kysymykseen. Integrandin kysymys ei ota kantaa syntymisjärjestykseen, tämä sinun kysymyksesi ottaa.

Koska Integrandin kysymys ei ota kantaa syntymisjärjestykseen, erilaisten parivaihtoehtojen todennäköisyydet ovat nämä:
tt 1/4
tp 1/4
pt 1/4
pp 1/4

eli eri sanoin:

kaksi tyttöä 1/4
molemmat 2/4
kaksi poikaa 1/4

Joten jos tiedetään, että toinen on tyttö, niin parin täytyy olla joko "kaksi tyttöä" (tt) tai "molemmat" (tp ja pt) ryhmistä. Kun parivaihtoehtoja on enää jäljellä:
tt 1/3
tp 1/3
pt 1/3

niin veljen todennäköisyys on 2/3.

Repe Sorsa sanoi:
Perheeseen syntyy tyttö. Mikä on todennäköisyys, että tyttö saa veljen, kun seuraava lapsi syntyy?
Click to expand...
Tässä tilanteessahan ei ole enää mitään merkitystä aikasemmilla mahdollisilla sisaruksilla. Tapahtumat eivät liity toisiinsa. Kysymys voidaan lyhentää: Mikä on todennäköisyys, että syntyy poika?
 
MiV sanoi:
En minä ainakaan pysty mitenkään lukemaan tuota Integrandin tehtävänasettelua niin, että lähtötilanne voisi olla jokin muu kuin se, että tyttö avaan oven.

Jos kysymys kuuluisi:
"Tiedetään, että nelihenkisessä perheessä on kaksi lasta. Mikä on todennäköisyys sille, että perheessä on tyttö, jolla on veli?"
Oven avaaminen voidaan unohtaa kokonaan ja todeta vastauksen olevan 1/2.

Jos kysymys kuuluisi:
"Tiedetään, että nelihenkisessä perheessä on kaksi lasta. Menet soittamaan perheen kodin ovikelloa. Oven avaa toinen perheen lapsista. Mikä on todennäköisyys sille, että perheessä on tyttö, jolla on veli?"
Vastaus on edelleen 1/2.

Mutta kun kysymyksessa sanotaan, että tyttö avaa oven, niin kyllä siitä eteenpäin veljen todennäköisyys on 2/3.
Click to expand...

Kokeile sinäkin Excel-taulukkoa, jos et muuten usko. Selvitetään vielä kerran.

Otetaan 1000 esimerkkiperhettä, joissa on lapsia seuraavasti:
250 kpl: kaksi poikaa
500 kpl: tyttö ja poika
250 kpl: kaksi tyttöä

mennään soittamaan kaikkien ovikelloa, jolloin ovelle tulee:
250 kpl, kaksi poikaa => 250 poikaa ovella
500 kpl, tyttö ja poika => 250 poikaa ovella & 250 tyttöä ovella
250 kpl, kaksi tyttöä => 250 tyttöä ovella

NYT ollaan siinä tilanteessa, mistä alkuperäinen kysymys lähtee liikkeelle. Ollaan siis kaksilapsisen perheen ovella ja oven on avannut tyttö.

Yllä olevasta nähdään, että 250 tytöllä on veli ja 250 tytöllä on sisko. Selvensikö tämä riittävästi? Jos ei vieläkään auennut, niin testatkaa tosiaan vaikka Excelillä tai kolikkoa heittämällä ja miettikää ajatuksella miksi 2/3 ei vastaa tulosta.
 
Repe Sorsa sanoi:
Kokeile sinäkin Excel-taulukkoa, jos et muuten usko.
Click to expand...

En vaan usko :)
mennään soittamaan kaikkien ovikelloa, jolloin ovelle tulee:
250 kpl, kaksi poikaa => 250 poikaa ovella
500 kpl, tyttö ja poika => 250 poikaa ovella & 250 tyttöä ovella
250 kpl, kaksi tyttöä => 250 tyttöä ovella

NYT ollaan siinä tilanteessa, mistä alkuperäinen kysymys lähtee liikkeelle. Ollaan siis kaksilapsisen perheen ovella ja oven on avannut tyttö.

Yllä olevasta nähdään, että 250 tytöllä on veli ja 250 tytöllä on sisko.
Click to expand...
Mutta eihän tuo viimeinen väittämäsi pidä paikkaansa edes tuon oman tekstisi perusteella. Alussa kerrot, että "500 kpl, tyttö ja poika" ja lopuksi, että "250 tytöllä on veli". Oikeasti 500 tytöllä on veli. Sinä olet tehnyt ylimääräisen oletuksen oven avaajaan liittyvistä todennäköisyyksistä.

Se, että oven avaa tyttö, ei muuta puolta tyttö-poika-pareista olemattomiksi. Se antaa vain sen tiedon, että kyse ei ole ainakaan poika-poika-parista. Minusta teet virheen siinä, että teet oletuksen, että molemmilla lapsilla on 1/2 todennäköisyys avata ovi. Minusta sellaista oletusta ei tässä kysymyksessä voi tehdä. Kysymys johon sinä vastaat olisi:

"Tiedetään, että nelihenkisissä perheissä on kaksi lasta. Kun ovikelloa soitetaan, kummankin lasten todennäköisyys tulla avaamaan ovi on 1/2. Menet soittelemaan nelihenkisten perheiden ovikelloja. Lopetat kun tyttö avaa oven. Mikä on todennäköisyys sille, että tytöllä on veli?"
 
Repe Sorsa sanoi:
Kokeile sinäkin Excel-taulukkoa, jos et muuten usko. Selvitetään vielä kerran.

Otetaan 1000 esimerkkiperhettä, joissa on lapsia seuraavasti:
250 kpl: kaksi poikaa
500 kpl: tyttö ja poika
250 kpl: kaksi tyttöä

mennään soittamaan kaikkien ovikelloa, jolloin ovelle tulee:
250 kpl, kaksi poikaa => 250 poikaa ovella
500 kpl, tyttö ja poika => 250 poikaa ovella & 250 tyttöä ovella
250 kpl, kaksi tyttöä => 250 tyttöä ovella

NYT ollaan siinä tilanteessa, mistä alkuperäinen kysymys lähtee liikkeelle. Ollaan siis kaksilapsisen perheen ovella ja oven on avannut tyttö.

Yllä olevasta nähdään, että 250 tytöllä on veli ja 250 tytöllä on sisko. Selvensikö tämä riittävästi? Jos ei vieläkään auennut, niin testatkaa tosiaan vaikka Excelillä tai kolikkoa heittämällä ja miettikää ajatuksella miksi 2/3 ei vastaa tulosta.
Click to expand...


Olen innokas näkemään sinun excel-taulukkosi. Et ota huomioon sitä, että tässä lasketaan ehdollista todennäköisyyttä. Me tiedämme, että toinen lapsista on tyttö, koska tyttö avasi oven.

Tehdään niinkuin sinä teit vähän aikaisemmin: 100 perhettä, joista:

25 p-p
25 p-t
25 t-p
25 t-t

Koska tyttö avasi oven, on p-p mahdoton yhdistelmä. Koska tyttö avasi oven, on p-t ja t-p perheiden toinen lapsi aina poika. Koska tyttö avasi oven, T-t perheissä toinen lapsi on luonnollisesti tyttö---> pojan todennäköisyys on 50/75= 2/3

Mietippä siis nyt: jokaisessa perheessä oven avasi tyttö (tästä johtuen p-p vaihtoehto on poissuljettu). Monessako perheessä noista 75:stä toinen lapsi on poika. Vastaus: 50.

Eli et ole ottanut huomioon sitä, että oven avaaja antaa meille lisäinformaatiota perheestä. Me tiedämme, että toinen lapsista on tyttö.
 
Tästähän on tullut kunnon sirkus :D

Niin kuin jo kauan aikaa sitten tuli ilmi niin tuo tehtävänanto on vähän puutteellinen...tai sen voi ainakin käsittää vähän eri tavoilla. Juuban ratkaisu olettaa, että tyttö-poika perheen oven avaa aina tyttö. Repe taas olettaa, että oven voi avata kumpi vain. Molemmat ovat oikeassa riippuen oletuksista.

Tehtävä olisi tosiaan pitänyt antaa eri sanoilla...
 
Joo, tehtävän anto voisi olla tarkempi. Jos reaalielämää ajatellaan, niin aika erikoista olisi ajatella, että vain tytöt avaavat ovia. Me ainakin oltiin lapsina siskon kanssa kumpikin ovella. Alkuperäisessä tehtävässä ei sanottu, että pojat avaavat oven vain, jos perheessä ei ole tyttöä.
 
Tehtävänannossahan sanottiin, että oven avaa tyttö. Ei sitä silloin voi poika tehdä, joten ei tässä lasketa todennäköisyyksiä sille, että poika avaa oven.

Lähtöasetelma on siis siinä hetkessä, kun me jo tiedämme tytön avanneen oven.

Lähtöasetelma ei ole se, että emme vielä tiedä oven avaajaa.

Ei varmaan meidänkään perheessä vain tytöt päästä vieraita sisään, mutta se ei liity tähän tilanteeseen millään lailla. Kysymys on siitä, että tiedämme tässä tapauksessa ovella olevan persoonan sukupuolen tytöksi.

Tehtävänanto on ihan yksikäsitteinen.


P(Toinen lapsi on poika, ehdolla(=kun tiedämme) että tyttö avaa oven) = 2/3

Esim:
P(Tyttö avaa oven ja toinen lapsi on poika) = 1/4

P(Toinen lapsi on poika, ehdolla että oven avaa lapsen vanhempi sisko) = 1/2
 
Perheen ensimmäinen lapsi on tyttö ½-todennäköisyydellä
Perheen toinen lapsi on tyttö myöskin ½-todennäkösyydellä
Eli perheen molemmat lapset ovat tyttöjä ½*½ =1/4-todennäköisyydellä

Perheen ensimmäinen lapsi on poika ½-todennäköisyydellä
Perheen toinen lapsi on poika myöskin ½-todennäkösyydellä
Eli perheen molemmat lapset ovat poikia ½*½ =1/4-todennäköisyydellä

Perheen ensimmäinen lapsi on tyttö ½-todennäköisyydellä
Perheen toinen lapsi on poika myöskin ½-todennäkösyydellä

Perheen ensimmäinen lapsi on poika ½-todennäköisyydellä
Perheen toinen lapsi on tyttö myöskin ½-todennäkösyydellä
Eli tyttö poika kombinaatteja on ½*½+½*½ = 2/4-todennäköisyydellä.

Koska p/p vaihtoehto on poissuljettu jää jäljelle 3 muuta vaihtoehtoa, joista kahdessa on vaihtoehtona veli ja yhdessä sisko.

Oikea vastaus on 2/3 todennäköisyys, että oven avanneella tytöllä on veli.

t/p ja p/t vaihtoehdot eivät tarkoita samaa-asiaa, vaan todennäköisyyttä syntyä veli sisko pari.
t/t ja p/p vaihtoehtoja ei voi syntyä kuin yksi.
 
Juuba sanoi:
Tehtävänannossahan sanottiin, että oven avaa tyttö. Ei sitä silloin voi poika tehdä, joten ei tässä lasketa todennäköisyyksiä sille, että poika avaa oven.

Lähtöasetelma on siis siinä hetkessä, kun me jo tiedämme tytön avanneen oven.
Click to expand...

Äh, miten tämän osaisi teille selittää. Otetaan ensin toinen käytännönläheinen esimerkki:
Pöydällä on neljä karkkipussia
pussi1: 100 mustaa karkkia
pussi2: 99 mustaa karkkia ja 1 valkoinen karkki
pussi3: 99 mustaa karkkia ja 1 valkoinen karkki
pussi4: 100 valkoista karkkia

Kysymys: otat pussista valkoisen karkin, mikä on todennäköisyys, että loput karkit mustia?

Teidän mukaan se on 2/3. Todellisuudessa todennäköisyys on häviävän pieni. Jos kädessäsi on valkoinen karkki tarkoittaa suurella todennäköisyydellä sitä, että olet ottanut karkin pussista, jossa on satakertaa enemmän valkoisia kuin muissa pusseissa.

Palataan kuitenkin alkuperäiseen ongelmaan ja teoreettiseen selitykseen.
A = tytöllä on veli
B = tyttö avaa oven
Lasketaan ehdollinen todennäköisyys, että tytöllä on veli, kun tiedämme, että tyttö on avannut oven.

Todennäköisyys on P(A|B) = P(A leikkaus B)/P(B)

Ehdollisen todennäköisyyden matemaattinen määritelmä kirjasta "Pekka Tuominen, Todennäköisyyslaskenta I", jota käytetään Helsingin yliopiston kurssikirjana todennäköisyyslaskennassa.

leikkaus tarkoittaa, että A ja B tapahtuvat kumpikin samaan aikaan.
tytöllä on veli = A = 1/2 tästä ei kai ole epäselvyyttä. Keskimäärin joka toisella tytöllä on veli, jokatoisella sisko.
tyttö avaa oven = B = 1/2 tämä on myös selviö. Jos satunnaisesti soitetaan jonkun talon ovikelloa, niin ovella yhtä useasti tyttö tai poika.

P(A|B) = P(A leikkaus B)/P(B) = P(1/2 * 1/2)/P(1/2) = 1/4 / 1/2 = 1/2

Jokos aukeni?
 
Nämä ovat mahtavia tehtäviä!
Eilen olin jossain vaiheessa täysin varma tuosta 1/2.En enää.
Riippuu kai vähän miltä kannalta asiaa tarkastelee.
Jos otetaan satunnaisesti vaikka 10000 kaksilapsista perhettä, niin todennäköisesti 2 poikaa olisi about 2500 perheessä, samoin kaksi tyttöä about 2500 perheessä ja poika ja tyttö about 5000 perheessä.
Jos tämä otetaan huomioon, eli että tyttö-poika perheitä on väestössä enemmän, niin todennäköisyys on tuo 2/3.Olin väärässä, myönnän.
Toisaalta aikaisempi ajatukseni perustui siihen, että kun oven avaa tyttö, niin perhe koostuu joko t-t tai t-p (p-p poissuljettu) ja sillon ei olisi väliä onko t-p tai p-t ja tällöin todennäköisyys olisi 1/2.Eli tuolla kysymyksenasettelulla ei otettaisi huomioon väestössä olevien erilaisten t-p t-t p-p jne. kombinaatioiden määrää vaan lähdettäisiin liikkeelle siitä että lapset ovat t-t tai t-p.
Esitin myös aiemmin erilaisen kysymyksenasettelun jolla tuo 2/3 ainakin toteutusi.
Edelleen, upea tehtävä. Lisää tämmöisiä.
 
Juuba sanoi:
Tehtävänannossahan sanottiin, että oven avaa tyttö. Ei sitä silloin voi poika tehdä, joten ei tässä lasketa todennäköisyyksiä sille, että poika avaa oven.

Lähtöasetelma on siis siinä hetkessä, kun me jo tiedämme tytön avanneen oven.

Lähtöasetelma ei ole se, että emme vielä tiedä oven avaajaa.
Click to expand...
Noin ajattelin itsekin joskus kauan sitten, kunnes koin herätyksen.

MiV sanoi:
Koska Integrandin kysymys ei ota kantaa syntymisjärjestykseen, erilaisten parivaihtoehtojen todennäköisyydet ovat nämä:
tt 1/4
tp 1/4
pt 1/4
pp 1/4
Click to expand...
Tämä lista "sisältää" olettamuksen siitä, että tyttö-poika perheestä oven avaa aina tyttö. Jos oven voi avata kumpi vain niin se "karsii" puolet noista tyttö-poika pareista pois ja todennäköisyydeksi jää 1/2. Hankalaahan tätä on selittää, mutta näin se vain menee vaikka tosiaan itsekin olin toista mieltä alussa :)
 
roope sanoi:
Nämä ovat mahtavia tehtäviä!
Eilen olin jossain vaiheessa täysin varma tuosta 1/2.En enää.
Riippuu kai vähän miltä kannalta asiaa tarkastelee.
Jos otetaan satunnaisesti vaikka 10000 kaksilapsista perhettä, niin todennäköisesti 2 poikaa olisi about 2500 perheessä, samoin kaksi tyttöä about 2500 perheessä ja poika ja tyttö about 5000 perheessä.
Jos tämä otetaan huomioon, eli että tyttö-poika perheitä on väestössä enemmän, niin todennäköisyys on tuo 2/3.Olin väärässä, myönnän.
Toisaalta aikaisempi ajatukseni perustui siihen, että kun oven avaa tyttö, niin perhe koostuu joko t-t tai t-p (p-p poissuljettu) ja sillon ei olisi väliä onko t-p tai p-t ja tällöin todennäköisyys olisi 1/2.Eli tuolla kysymyksenasettelulla ei otettaisi huomioon väestössä olevien erilaisten t-p t-t p-p jne. kombinaatioiden määrää vaan lähdettäisiin liikkeelle siitä että lapset ovat t-t tai t-p.
Esitin myös aiemmin erilaisen kysymyksenasettelun jolla tuo 2/3 ainakin toteutusi.
Edelleen, upea tehtävä. Lisää tämmöisiä.
Click to expand...

Siis 2/3 tuloksen saa ainoastaan sillä oletuksella, että tyttö avaa aina oven, paitsi jos kummatkin lapset ovat poikia. Muuten tuohon tulokseen ei päästä.
 
Havainnollistamisessa on hyvä käyttää tuota Repen karkkiesimerkkiä:

100m
99m1v
99m1v
100v

Todennäköisyys sille, että kun on ensin nostettu valkoinen, niin loput pussissa on mustia on 2/102. Muutetaan nyt esimerkkiä siten, että meillä onkin seuraavat pussit:

2m
1m1v
1m1v
2v

Nyt nähdään, että todennäköisyys sille, että kun on ensin nostettu valkoinen, niin loput pussissa on mustia on 2/4 eli 1/2.
 
Joutuu itsekin taipumaan oikean vastauksen edessä.

Kyllähän tuo oikea vastaus on 1/2.


Itse kovasti toitotin, että ehto antaa meille lisäinformaatiota, mutta enpä itse ollut tajunnut informaatiosta kuin "puolet".

Olen kuitenkin edelleen sitä mieltä, että tehtävänanto on täysin yksikäsitteinen. En vain itse osannut tulkita tehtävää oikein:)

Jos mietitään, mihin nuo minun laskut olisivat vastauksia, niin:

P(Tytöllä on veli|Tyttö avaa oven ja pojat eivät aukaise koskaan ovea)=2/3

tai lähinnä miten olin itse asian päässäni (väärin) ajatellut:

P(Tytöllä on veli| Perheessä on tyttö)=2/3
 
Repe Sorsa sanoi:
Äh, miten tämän osaisi teille selittää. Otetaan ensin toinen käytännönläheinen esimerkki:
Pöydällä on neljä karkkipussia
pussi1: 100 mustaa karkkia
pussi2: 99 mustaa karkkia ja 1 valkoinen karkki
pussi3: 99 mustaa karkkia ja 1 valkoinen karkki
pussi4: 100 valkoista karkkia

Kysymys: otat pussista valkoisen karkin, mikä on todennäköisyys, että loput karkit mustia?

Teidän mukaan se on 2/3. Todellisuudessa todennäköisyys on häviävän pieni. Jos kädessäsi on valkoinen karkki tarkoittaa suurella todennäköisyydellä sitä, että olet ottanut karkin pussista, jossa on satakertaa enemmän valkoisia kuin muissa pusseissa.

Jokos aukeni?
Click to expand...

No ei auennut :) Tai kyllähän minä ymmärrän, miten sinä tuon ajattelet, mutta en silti (ainakaan vielä) ole samaa mieltä. Tuo karkkipussimuunnos on kuitenkin ihan hyvä asian pohtimiseen. Jos tuohon tekee sellaisen muutoksen, että minä otan jonkin noissa neljästä karkkipussista. Minä valitsen sitten pussista yhden karkin ja annan sen sinulle. Sinä et tiedä, millä perusteella minä olen sen sinulle antamasi karkin valinnut. (Saatoin valita randomilla tai sitten tykkään itse mustista ja annan aina valkoiset pois.) Koska et tiedä valintaperustettani, sinulla ei minun mielestäni ole muuta vaihtoehtoa, kuin olettaa, että pussi voi olla ihan yhtä suurella todennäköisyyllä mikä tahansa pusseista 2, 3 tai 4.

Ja alkuperäisessäkään ongelmassa ei tiedetä, millä perusteella oven avaaja valitaan, joten sen suhteen ei voi tehdä oletusta. Joten olen edelleen 2/3:n puolella. Ja älkää nyt muut 2/3:n kannattajat livetkö rintamasta, tapellaan loppuun asti sen puolesta :)
 
Mitenkäs tällainen havainnollistava esimerkki:

Äiti on synnytyksessä ja pyöräyttää tytön. Mikä on todennäköisyys, että seuraavaksi syntyvä lapsi on poika?

Tai

Äiti synnyttää toisen lapsen, joka on tyttö. Mikä on todennäköisyys, että ensimmäinen lapsi oli poika?
 
Integrandi sanoi:
Mitenkäs tällainen havainnollistava esimerkki:

Äiti on synnytyksessä ja pyöräyttää tytön. Mikä on todennäköisyys, että seuraavaksi syntyvä lapsi on poika?
Tai
Äiti synnyttää toisen lapsen, joka on tyttö. Mikä on todennäköisyys, että ensimmäinen lapsi oli poika?
Click to expand...

Lasten syntymät ovat toisistaan riippumattomia tapahtumia, joten molempiin kysymyksiin vastaus on tietysti 1/2. Tämä ei kuitenkaan kovin paljon liity alkuperäiseen kysymykseen. Ainoastaan sen verran, että saadaan nämä moneen kertaan esitetyt perhekoostumusten todennäköisyydet:

kaksi tyttöä 1/4
molemmat 2/4
kaksi poikaa 1/4
 
viiniksi sanoi:
Havainnollistamisessa on hyvä käyttää tuota Repen karkkiesimerkkiä:

100m
99m1v
99m1v
100v

Todennäköisyys sille, että kun on ensin nostettu valkoinen, niin loput pussissa on mustia on 2/102.
Click to expand...

Ei ei ei

Valinta on jo tehty, sieltä on nostettu se 1 ja todettu se valkoiseksi.

Sillä että pusseista 99m1v on helvetin epätodennäköistä saada se valkoinen ei ole mitään merkitystä enää sen jälkeen kun se arvonta on suoritettu.

Tässä tilanteessa todennäköisyys sille että loput ovat mustia on 2/3. (kolme pussia joista on voitu saada valkoinen, kahdessa loput ovat mustia)

Tuon kysymyksen voi siis muotoilla toisin; on valittu kolmesta pussista yksi, millä todennäköisyydellä se on 99m1v.
 
Back
Ylös Bottom