Matemaattinen ongelma tai jotain

[MiV]

Tuossa on se ongelman ydin, eli oletetaan että jos perheessä on ainakin yksi tyttö niin hän tulee aina avaamaan oven. Koska näin ei ole niin toinen pareista
t-p
p-t
pitää hylätä ja päästään tuohon 1/2.

Eiiiiii.... Luepa tuo minun vastaukseni Repen karkkiongelmaan. Tässä nyt vain käy niin, että 2/3 vastaukseen päädytään sekä silloin, kun tehdään oletus siitä, että tyttö avaa aina oven, että myös silloin, kun avaajan valinnasta ei tehdä mitään oletuksia. On väärin olettaa, että tyttö avaisi aina oven, mutta yhtä väärin on olettaa, että tyttö-poika-perheissä tytön todennäköisyys avata ovi on 50%, jolloin päästäisiin vastaukseen 1/2.

 

[Pii]

Tuossa on se ongelman ydin, eli oletetaan että jos perheessä on ainakin yksi tyttö niin hän tulee aina avaamaan oven. Koska näin ei ole niin toinen pareista

t-p
p-t

pitää hylätä ja päästään tuohon 1/2.

Jos käytetään alkuperäisen tehtävän syntyvyys ehtoa, että tyttöjä ja poikia syntyy 50%/50%
valitaan vaikkapa miljoona perhettä joilla on kaksi lasta, niin havaitaan että 1/4:lla on perheessä kaksi poikalasta ja 1/4:lla kaksi tyttölasta ja 2/4 osalla on tyttö ja poikalapsi.

Tytön avatessa oven paljastuu ettei kysymyksessä voi enää olla kaksi poikalasta.
Jäljelle jää enää tyttö-tyttö vaihtoehto ja tyttö-poika vaihtoehdot…todennäköisyyden mukaan oven avanneelle tytölle on syntynyt tuplasti enemmän veljiä, mitä siskoja…johtuen juuri siitä, että veli voi olla joko pikku-, tai isoveli tytölle, eli tälläisen parin muodostumiselle on annettu kaksi mahdollisuutta, kun samanaikaisesti tyttö-tyttö parille on olemassa vain yksi ja ainut vaihtoehto.
Eli vastaus on 2/3-todennäköisyydellä tytöllä on veli...heh heh sitkeää vääntöä.

 

[Integrandi]

todennäköisyyden mukaan oven avanneelle tytölle on syntynyt tuplasti enemmän veljiä, mitä siskoja

No, joo-o. Mutta kun ei voida tehdä oletusta siitä, että sen oven tulee avaamaan aina tyttö niin tuossa tavallaan blokkautuu puolet noista t-p pareista pois.

Tuo Repen aiempi taulukko oli kyllä aika selkeä. Rimpauttele 1000 000 ovikelloa ja katso paljonko veljiä ja siskoja on niissä tapauksissa kun systeri on avannut oven.

 

[Juuba]

Jos käytetään alkuperäisen tehtävän syntyvyys ehtoa, että tyttöjä ja poikia syntyy 50%/50%
valitaan vaikkapa miljoona perhettä joilla on kaksi lasta, niin havaitaan että 1/4:lla on perheessä kaksi poikalasta ja 1/4:lla kaksi tyttölasta ja 2/4 osalla on tyttö ja poikalapsi.

Tytön avatessa oven paljastuu ettei kysymyksessä voi enää olla kaksi poikalasta.
Jäljelle jää enää tyttö-tyttö vaihtoehto ja tyttö-poika vaihtoehdot…todennäköisyyden mukaan oven avanneelle tytölle on syntynyt tuplasti enemmän veljiä, mitä siskoja…johtuen juuri siitä, että veli voi olla joko pikku-, tai isoveli tytölle, eli tälläisen parin muodostumiselle on annettu kaksi mahdollisuutta, kun samanaikaisesti tyttö-tyttö parille on olemassa vain yksi ja ainut vaihtoehto.
Eli vastaus on 2/3-todennäköisyydellä tytöllä on veli...heh heh sitkeää vääntöä.

Mahtavaa vääntöä tosiaan Ensin minä puolustelen toista kantaa, ja nyt sitten olen kääntänyt kelkan.


100 perhettä, joissa on kaksi lasta:

p-p. 25kpl, joista aina avaamaan tulee poika. Eli emme ole kiinnostuneita näistä tapauksista.

t-p. 25 kpl, joissa keskimäärin puolessa avaamaan tulee poika. Emme ole kiinnostuneita näistä, koska tiedämme, että oven avasi tyttö. Puolet on taas sitten sellaisia joissa tyttö avaa oven. Näistä olemme kiinnostuneita=12,5kpl

p-t. 25 kpl. Sama tarina kuin äsken.

t-t. 25 kpl. Kaikissa tapauksissa tulee tyttö ovelle. Näistä olemme kiinnostuneita.

----> Eli meitä kiinnostavia perheitä on 12,5+12,5+25=50. Näistä viidestäkymmenestä perheestä toinen lapsi on poika 12,5+12,5=25 tapauksessa. ---> 25/50 = 1/2.


Ei näissä argumenteissä ollut mitään uutta, mutta kertasinpa nyt vielä kaiken, mitä minunkin päähän aikaisemmin taottiin. Hirveän vaikea näitä on kirjoittamalla selvittää. Sen minäkin huomasin jo aikaisemmin.

 

[rasvis]

Tuon kysymyksen voi siis muotoilla toisin; on valittu kolmesta pussista yksi, millä todennäköisyydellä se on 99m1v.

Itse itseäni korjaten. Ei siis voi, itse käytin tätä yksinkertaistusta ja eihän se tosiaan toimi.

Nyt vituttaa, mä oon kuitenkin joskus osannut nää :D

 

[Pii]

Kokeile sinäkin Excel-taulukkoa, jos et muuten usko. Selvitetään vielä kerran.

Otetaan 1000 esimerkkiperhettä, joissa on lapsia seuraavasti:
250 kpl: kaksi poikaa
500 kpl: tyttö ja poika
250 kpl: kaksi tyttöä

mennään soittamaan kaikkien ovikelloa, jolloin ovelle tulee:
250 kpl, kaksi poikaa => 250 poikaa ovella
500 kpl, tyttö ja poika => 250 poikaa ovella & 250 tyttöä ovella
250 kpl, kaksi tyttöä => 250 tyttöä ovella

NYT ollaan siinä tilanteessa, mistä alkuperäinen kysymys lähtee liikkeelle. Ollaan siis kaksilapsisen perheen ovella ja oven on avannut tyttö.

Yllä olevasta nähdään, että 250 tytöllä on veli ja 250 tytöllä on sisko. Selvensikö tämä riittävästi? Jos ei vieläkään auennut, niin testatkaa tosiaan vaikka Excelillä tai kolikkoa heittämällä ja miettikää ajatuksella miksi 2/3 ei vastaa tulosta.

!000 perhettä, niin tällöin lapsia on yhteensä 2000
Joista 1000 on tyttöjä ja 1000 poikia

250 kpl, kaksi poikaa => 250 poikaa ovella
500 kpl, tyttö ja poika => 500 poikaa ovella & 500 tyttöä ovella
250 kpl, kaksi tyttöä => 250 tyttöä ovella

kaksi poikaa vaihtoehto poistetaan, koska tehtävässä ovelle tulee tyttö.
Eli 500 poikaa katoa.
Jäljelle jää
500 tyttöä jolla on veli ja 250 tyttöä jolla on sisko

Ei maha mitään…edelleen ovella tyköttävällä tytöllä on 2/3-osan todennäköisyydellä veli jemmassa jossain.

 

[Pii]

No, joo-o. Mutta kun ei voida tehdä oletusta siitä, että sen oven tulee avaamaan aina tyttö niin tuossa tavallaan blokkautuu puolet noista t-p pareista pois.
.

Alkuperäinen tehtäväsihän oli tälläinen;

"Tiedetään, että nelihenkisessä perheessä on kaksi lasta. Menet soittamaan perheen kodin ovikelloa. Oven avaa nuori tyttö (lapsi). Mikä on todennäköisyys sille, että tytöllä on veli (kun siis tiedetään että sillä on veli tai sisko)?"

Siinähän mainitaan yksiselitteisesti että oven aukaisee tyttö...höh kuka se sai sinut epäilemään omaa tehtävääsi :lol2:

 

[MiV]

Ei tuo nyt vain toimi 1/2-kannattajien systeemillä.

Lähtötilanne on se, että perhe on jokin näistä: tt, tp, pt, pp. Kun kysytään yksinkertainen kysymys, mikä on todennäköisyys sille, että perhe on tt, niin vastaus on 1/4. Kaikki varmasti samaa mieltä.

Kun kysytään, mikä on todennäköisyys sille, että perheessä on tyttö, jolla on pikkuveli, niin vastaus on 1/4. Kaikki varmasti samaa mieltä.

Kun kysytään, mikä on todennäköisyys sille, että perheessä on tyttö, jolla on isoveli, niin vastaus on 1/4. Kaikki varmasti samaa mieltä.

Kun kysytään, mikä on todennäköisyys sille, että perheessä on sekä tyttö että poika, niin vastaus on 2/4. Kaikki varmasti samaa mieltä.

Kerrotaan, että perheessä on tyttö. Tästä voidaan päätellä, että perhe on joko tp, pt tai tt. Väittääkö joku vastaan?

Kerrotaan, että perheessä on tyttö. Kun kysytään, mikä on todennäköisyys sille, että perheessä on myös poika, niin vastaus on 2/3. Väittääkö joku vastaan?

Se, että oven tulee avaamaan tyttö, kertoo vain ja ainoastaan sen, että perheessä on tyttö. Älkää menkö tekemään siitä mitään sen ihmeellisempiä johtopäätöksiä ja oletuksia.

 

[MiV]

No nyt minäkin olen jo sitä mieltä, että 1/2 on oikea vastaus :D

Kysymys, johon vastaus olisi 2/3: Menään soittamaan nelihenkisen perheen ovikelloa. Oven avaa perheen isä. Isältä kysytään, onko perheessä ainakin yksi tyttö. Isä vastaa, että kyllä on. Mikä on todennäköisyys, että tytöllä on veli?

 

[Pii]

No nyt minäkin olen jo sitä mieltä, että 1/2 on oikea vastaus :D

Kysymys, johon vastaus olisi 2/3: Menään soittamaan nelihenkisen perheen ovikelloa. Oven avaa perheen isä. Isältä kysytään, onko perheessä ainakin yksi tyttö. Isä vastaa, että kyllä on. Mikä on todennäköisyys, että tytöllä on veli?

Mikäs sinun pääsi käänsi ?

Jos tarkastellaan vaikka tuota Repe Sorsan esimerkkiä, jossa on 1000 perhettä.
Ja käydään soittelemassa ovikelloja, niin oven aukaisee tällöin;

250 kpl, kaksi poikaa => 250 poikaa ovella
500 kpl, tyttö ja poika => 500 poikaa ovella & 500 tyttöä ovella
250 kpl, kaksi tyttöä => 250 tyttöä ovella

Repellähän vain alkuperäisessä viestissä oli tullut virheellinen määrä tyttö/poika sisarusten kohdalla lapsia ovea aukaisemaan…oikea määrä on 500 kpl, tyttö ja poika => 500 poikaa ovella & 500 tyttöä ovella
Ehtona oli, että tytär tuli aukaisemaan oven…tällöin poistui poika/poika pari pois, 250+250=500 poikaa.
Lisäksi ovella kun seisoo perheen tytär, havaitaan, että tälläisiä tyttäriä jotka voivat seisoskella oven raossa kerrallaan on 750 kappaletta = 750 taloutta
Ja havaitaan samalla, että näillä tyttärillä on jossain jemmassa 500 veljeä, ja 250 siskoa.

Jos nyt kalkulaattoroidaan, niin 500/750 = 2/3

Ollos uskossas vahva :thumbs:

 

[Pii]

Mikäs sinun pääsi käänsi ?

Jos tarkastellaan vaikka tuota Repe Sorsan esimerkkiä, jossa on 1000 perhettä.
Ja käydään soittelemassa ovikelloja, niin oven aukaisee tällöin;

250 kpl, kaksi poikaa => 250 poikaa ovella
500 kpl, tyttö ja poika => 500 poikaa ovella & 500 tyttöä ovella
250 kpl, kaksi tyttöä => 250 tyttöä ovella

Ehtona oli, että tytär tuli aukaisemaan oven…tällöin poistui poika/poika pari pois, 250+250=500 poikaa.
Lisäksi ovella kun seisoo perheen tytär, havaitaan, että tälläisiä tyttäriä jotka voivat seisoskella oven raossa kerrallaan on 750 kappaletta = 750 taloutta
Ja havaitaan samalla, että näillä tyttärillä on jossain jemmassa 500 veljeä, ja 250 siskoa.

Jos nyt kalkulaattoroidaan, niin 500/750 = 2/3

Ollos uskossas vahva :thumbs:

Täytyy vähän editoida itseään …siis tuossa keskimmäisessä vaihtohdossa on jompsi kumpsi ovella, eli 250 tyttöä & 250 poikaa

250 kpl, kaksi poikaa => 250 poikaa ovella
500 kpl, tyttö ja poika => yhteensä 500 tyttöä tai poikaa ovella
250 kpl, kaksi tyttöä => 250 tyttöä ovella
Sori Repe perättömästä syytöksestä :(

Mutta lopputulokseen se ei vaikuta, koska ehto ”tyttö aukaisee oven” tuo tuohon keskimmäiseen sarakkeeseen 500 tyttöä ovelle ja 500 veljeä jää piiloon…ja alimmaisesta tyttö/tyttö sarakkeesta tulee 250 tyttöä ovelle ja 250 tyttöä jää piikoon.

Eli 500/750 = 2/3 pätee

 

[Repe Sorsa]

Palataan kuitenkin alkuperäiseen ongelmaan ja teoreettiseen selitykseen.
A = tytöllä on veli
B = tyttö avaa oven
Lasketaan ehdollinen todennäköisyys, että tytöllä on veli, kun tiedämme, että tyttö on avannut oven.

Todennäköisyys on P(A|B) = P(A leikkaus B)/P(B)

Ehdollisen todennäköisyyden matemaattinen määritelmä kirjasta "Pekka Tuominen, Todennäköisyyslaskenta I", jota käytetään Helsingin yliopiston kurssikirjana todennäköisyyslaskennassa.

leikkaus tarkoittaa, että A ja B tapahtuvat kumpikin samaan aikaan.
tytöllä on veli = A = 1/2 tästä ei kai ole epäselvyyttä. Keskimäärin joka toisella tytöllä on veli, jokatoisella sisko.
tyttö avaa oven = B = 1/2 tämä on myös selviö. Jos satunnaisesti soitetaan jonkun talon ovikelloa, niin ovella yhtä useasti tyttö tai poika.

P(A|B) = P(A leikkaus B)/P(B) = P(1/2 * 1/2)/P(1/2) = 1/4 / 1/2 = 1/2

Jokos aukeni?

te ette nyt ymmärrä alkuunkaan ehdollista todennäköisyyttä ja siksi teillä menee päättelyt metsään. Kertokaahan vaihteeksi mikä yllöolevassa laskussa menee pieleen??? Siinä ei kysymystä ole ratakaistu sekavilla päättelyillä vaan puhtaalla matematiikalla.

 

[Repe Sorsa]

Täytyy vähän editoida itseään …siis tuossa keskimmäisessä vaihtohdossa on jompsi kumpsi ovella, eli 250 tyttöä & 250 poikaa

250 kpl, kaksi poikaa => 250 poikaa ovella
500 kpl, tyttö ja poika => yhteensä 500 tyttöä tai poikaa ovella
250 kpl, kaksi tyttöä => 250 tyttöä ovella
Sori Repe perättömästä syytöksestä :(

Mutta lopputulokseen se ei vaikuta, koska ehto ”tyttö aukaisee oven” tuo tuohon keskimmäiseen sarakkeeseen 500 tyttöä ovelle ja 500 veljeä jää piiloon…ja alimmaisesta tyttö/tyttö sarakkeesta tulee 250 tyttöä ovelle ja 250 tyttöä jää piikoon.

Eli 500/750 = 2/3 pätee

Kuten ehdollisen todennäköisyyden laskukaavasta huomaat, niin laskussa käytetään todennäköisyyttä miten useasti tyttö avaa oven. Se, että "tyttö ovella" on ehtona ei tarkoita ettei sitä tarvitsisi laskussa tarkastella.

 

[Integrandi]

Mutta lopputulokseen se ei vaikuta, koska ehto ”tyttö aukaisee oven” tuo tuohon keskimmäiseen sarakkeeseen 500 tyttöä ovelle ja 500 veljeä jää piiloon…

Kyllä, ja nimenomaan siinä kohtaa tapahtuu oletus, että jos on sisko-veli pari ja ovikello soi niin sisko tulee aina avaamaan sen oven. Koska näin ei varmastikaan ole niin noista t-p pareista pitää hylätä puolet.

 

[Muikun_ruoto]

Onkohan tää :wanha:

No, pikkupähkinä tähän väliin:

Linja-autossa on 7 lasta.

Jokaisella lapsella on 7 reppua.

Jokaisessa repussa on 7 isoa kissaa.

Jokaisella isolla kissalla on 7 pientä kissaa.

Jokaisella kissalla on 4 jalkaa.



KYSYSMYS: Kuinka monta jalkaa on linja-autossa? :dance:

 

[Uwish]

Onkohan tää :wanha:

No, pikkupähkinä tähän väliin:

Linja-autossa on 7 lasta.

Jokaisella lapsella on 7 reppua.

Jokaisessa repussa on 7 isoa kissaa.

Jokaisella isolla kissalla on 7 pientä kissaa.

Jokaisella kissalla on 4 jalkaa.



KYSYSMYS: Kuinka monta jalkaa on linja-autossa? :dance:

7x7x7x4 (aikuisten kissojen jalat) + 7x7x7x7x4 (pikkukissojen jalat) + 7x2 (lasten jalat) ? Ei oo nyt laskukonetta käsillä.

 

[Wendy]

Onkohan tää :wanha:

No, pikkupähkinä tähän väliin:

Linja-autossa on 7 lasta.

Jokaisella lapsella on 7 reppua.

Jokaisessa repussa on 7 isoa kissaa.

Jokaisella isolla kissalla on 7 pientä kissaa.

Jokaisella kissalla on 4 jalkaa.

KYSYSMYS: Kuinka monta jalkaa on linja-autossa? :dance:

Ei linja-autossa oo jalkoja, siinä on renkaat :jahas:

Edit. Uwish, mä olen niin lapsellinen :D

 

[Uwish]

Ei linja-autossa oo jalkoja, siinä on renkaat :jahas:

Noin minäkin ensin ajattelin vastata, mutta en uskonut kysymyksen tekijän olevan niin lapsellinen. Ois jo niin :wanha:

edit. sitä paitsi se alkuperäinen jekkukysymys meni niin, ettei siinä ollut väärintulkinnan vaaraa, vaan porukka laski niitä jalkoja tai mitä lie, jotka eivät olleet niissä rattaissa alun alkaenkaan.

 

[Muikun_ruoto]

7x7x7x4 (aikuisten kissojen jalat) + 7x7x7x7x4 (pikkukissojen jalat) + 7x2 (lasten jalat) ? Ei oo nyt laskukonetta käsillä.

No, näinhän se oli. Tää oli liian helppo tai sitten oikean vastauksen antaja Uwish on pätevä ja hallitsee kompakysymykset. :hyvä:

 

[Repe Sorsa]

Kysymys: Miten pöydälle saa asetettua viisi samankokoista kolikkoa niin, että jokainen kolikko koskee neljää muuta kolikkoa eli kaikki kolikot koskevat toisiinsa?

Sen verran täytyy sanoa, että ainakaan minulla ei sorminäppäryys riittänyt malliratkaisun asetelmaan ja vähän epäilen, että liukkaita kolikoita on melko mahdoton saada siinä asennossa pysymään ilman sinitarraa tai jotain muuta tukea. Kysymys on siis puoliksi teoreettinen, mutta ei mikään kompa missään tapauksessa. Kolikot on siis mahdollista asetella vaaditulla tavalla.