Pari vuotta vanhasta tyttö-poika tehtävästä vielä:
Ensin hyvin yksinkertainen esimerkki: Olkoon A="voitit päävoiton lotossa". Selvästi lotossa päävoiton voittaminen on hyvin epätodennäköistä, mutta jos oletetaan, että voitit päävoiton lotossa, A:n todennäköisyys on tietenkin 1.
Toisin sanoen P(A|A)=1.
Vastaavasti jos otetaan tapahtuma B="arvonta on käynnissä ja sinulla on jo 6 numeroa oikein, 1 numero on vielä tulematta", niin loton päävoiton todennäköisyys ehdolla B eli P(A|B) on huomattavasti suurempi kuin P(A).
Yritän siis sanoa, että tehtävän alkua ennen tapahtuneet tapahtumat eivät ole mitenkään oleellisia laskun kannalta. Siksi on kummallista, miksi jatkuvasti intetään, että todennäköisyys, että tyttö avaa oven on 50%. Se ei yksinkertaisesti
liity asiaan, sillä tapahtunut on tapahtunut, ja sen todennäköisyyttä ei tarvitse muistella. Tehtävässähän nimenomaan oletettiin, että tyttö on avannut jo oven.
Itse tehtävä menisi mielestäni näin:
Merkitään
A="2-lapsisessa perheessä on ainakin 1 tyttö".
ja
B="2-lapsisessa perheessä on ainakin 1 poika". Selvästi kaksilapsisten perheiden kombinaatioista nähdään, että P(A)=P(B)=3/4.
Lisäksi huomataan, että
A leikkaus B = "2-lapsisessa perheessä on ainakin 1 tyttö JA 2-lapsisessa perheessä on ainakin 1 poika" = "2-lapsisessa perheessä on 1 tyttö ja 1 poika".
Näin ollen kombinaatioista jälleen nähdään P(A leikkaus B) = 2/4 = 1/2.
Tehtävässä todettiin että oven avasi tyttö. Lisäksi todettiin, että kysymyksessä ei ole kompa, joten voidaan ottaa lähtökohdaksi se, että oven avannut tyttö kuuluu perheeseen. Siispä A pätee.
Nythän kysymyksenä on siis B:n todennäköisyys, kun A on voimassa eli P(B|A).
Ehdollisen todennäköisyyden kaavalla
P(B, jos oletetaan että A on voimassa) = P(B|A) = P(A leikkaus B)/P(A) = (2/4)/(3/4)= 2/3.
