Tässä arvoitus:
Pässi pistetään naruun ympyrän(r=50m) muotoiselle pellolle ja vaarna, johon pässi tulee kiinni isketään ympyrän kehälle. Pässi saa syödä puolet pellon pinta-alasta. Kuinka pitkään naruun pässi laitetaan. Pässin kaulalla ei ole merkitystä:D
Pistetääs tuplat.
Onko kukaan onnistunut laskemaan tälle tarkkaa arvoa? Lienee hankalaa, numeerisestihan tuon säteen voi 'helpohkosti' määrittää. Laitanpa nyt tähän, miten tuota itse mietin ja laskeskelin, jos joku vaikka osaisi/haluaisi jatkaa:
Pellon yhtälö (ympyrä, keskipiste (50,0)): (x-50)^2+y^2=50^2, merk. (1)
Pässin liikkumavara (origokeskinen ympyrä): x^2+y^2=r^2, merk. (2)
r on kysytty narun pituus.
(1)-> y=sqrt(100x-x^2), merk. (3)
(2)-> y=sqrt(r^2-x^2), merk. (4)
(sqrt=neliöjuuri)
Yo. yhtälöissä tietysti molemmat merkit (+ ja -), mutta nyt riittää tarkastella ympyröiden positiivisia puolikkaita.
Merkitään (3) ja (4) yhtä suuriksi, saadaan ratkaistua kaarien leikkauspiste, x=r^2/100.
Integroidaan (3) välillä (0,r^2/100) ja (4) välillä (r^2/100,r). Integraalien summasta saadaan neljäsosa pellon pinta-alasta, eli 1/4*pi*50^2.
Myönnetään, toisesta integraalista tuli sen verran paha, etten laskenut sitä käsin.
Pinta-ala r:n funktiona, 1/4*pi*50^2 siirretty yhtäsuuruusmerkin vasemmalle puolelle:
pi*r^2/4-1/2*r^3/100*(1-r^2/10000)^(1/2)-r^2/2*arcsin(r/100) + 1/20000*(10000*r^2-r^4)^(1/2)*r^2-1/4*(10000*r^2-r^4)^(1/2)+1250*arcsin(-1+1/5000*r^2)+625*pi - 1/4*pi*50^2=0.
Tuosta jos pystyy nollakohdan määrittämään, niin hieno homma, itse laskin koneella numeerisesti r=57,936423650906075891411675496676.
Eli tavallaan tehtävä ei ole ratkaistu, ennen kuin tuosta yllä olevasta hässäkästä saa tarkan r:n arvon ulos.
Tähän se varmasti useimmiten jääkin. :wall:
