Matemaattinen ongelma tai jotain

[Mattih3]

Tämä on kyllä todella huonosti tehty kysymys. Mutta jos tynnyri on umpinainen, niin se noste tulee ilman muuta huomioida. Ja jos se on umpinainen ja nojaa kiinteästi järven pohjaan, niin silloinhan pohja ei ole kontaktissa veden kanssa, eikä veden paine siis kohdista pohjaan mitään voimaa.

Mutta ei pidä hämmästyä, jos YO-lautakunnan malliratkaisu on päin vittua. Mä en pidä noita YO-kisoja ja niissä olevia kysymyksiä kovin suuressa arvossa.

 

[Aappo]

Kyllä se tynnyri on umpinainen, muuten a) -kohdassa ei olisi juurikaan järkeä. Mihin tynnyrin yläpäädyn pinta-alaan paineen pitäisi olettaa vaikuttavan, jos tynnyri olisi avonainen? Ja kyllä minunkin mielestä noste tulisi ottaa huomioon.

 

[pezku^]

Tämä on kyllä todella huonosti tehty kysymys. Mutta jos tynnyri on umpinainen, niin se noste tulee ilman muuta huomioida. Ja jos se on umpinainen ja nojaa kiinteästi järven pohjaan, niin silloinhan pohja ei ole kontaktissa veden kanssa, eikä veden paine siis kohdista pohjaan mitään voimaa.

Mutta ei pidä hämmästyä, jos YO-lautakunnan malliratkaisu on päin vittua. Mä en pidä noita YO-kisoja ja niissä olevia kysymyksiä kovin suuressa arvossa.

Nostehan johtuu paine-erosta kappaleen ylä- ja alapäiden välillä, joten en ainakaan itse osaa sanoa, että vaikuttaako tynnyrin oleminen pohjassa siten, että nostetta ei olisi ollenkaan. Mielestäni noste on olemassa siitä huolimatta, mutta toisaalta voin olla väärässäkin.

Mitenköhän se sitten olisi...

Osa noista yo-tehtävistä on kyllä niin pahasti päin helvettiä laadittu, että periaatteessa niistä varmaan sais sen 6p, kun vain jaksais saivarrella tarpeeks sen asian kanssa.

 

[Henchman]

Nostehan johtuu paine-erosta kappaleen ylä- ja alapäiden välillä, joten en ainakaan itse osaa sanoa, että vaikuttaako tynnyrin oleminen pohjassa siten, että nostetta ei olisi ollenkaan.

Ei todellakaan vaikuta tynnyrin pohjassa oleminen nosteeseen. Noste johtuu siitä, että kappale pyrkii sinne pienempään paineeseen.

 

[pezku^]

Ei todellakaan vaikuta tynnyrin pohjassa oleminen nosteeseen. Noste johtuu siitä, että kappale pyrkii sinne pienempään paineeseen.

Sitä minäkin. Taisimme päästä kuitenkin yksimielisyyteen siitä, että mallivastauksissa täytyy olla virhe.

 

[Mattih3]

Siis en tarkoittanut, ettei nostetta olisi, kun tynnyri on pohjassa. Mutta jos tynnyri olisi suljettu, ja sen sisällä olisi ilmaa, niin tuo ilmahan olisi normaali-ilmanpaineessa. Tällöin veden hydrostaattinen paine pyrkisi painamaan tynnyriä kasaan. Tätä voimaa ei tynnyrin pohjaan kuitenkaan kohdistu, mikäli se ei ole kontaktissa veden kanssa, vaan kiinni järven pohjassa. Tätä yritin siis sanoa tuossa aiemmin. Jos lähdetään siitä oletuksesta, että tynnyri on umpinainen, niin noste tulee siis huomioida ja jos malliratkaisussa ei näin ole tehty, se on virheellinen.

 

[Akilles]

Koska täällä päästiin jo yksimielisyyteen siitä, että malliratkaisussa on virhe, niin on varmaan hyvä hetki todeta, että malliratkaisu on täysin oikein. Sen sijaan ainoa virhe on teidän vajavainen ymmärrys nosteesta. Sanottakoon nyt vielä, että tynnyri on tietysti umpinainen. En ymmärrä, miten tästä voi olla edes epäselvyyttä. Sitten itse asiaan, eli tynnyriin ei kyseisessä tilanteessa kohdistu nostetta. Väännetään nyt siis rautalangasta TYNNYRIN POHJASSA OLEMINEN VAIKUTTAA NOSTEESEEN juurikin siten, että nostetta ei ole. Tämäkin olisi selvinnyt helposti, jos ymmärtää miten nosteen yhtälö on johdettu. Jätän tämän harjoitustehtäväksi, mutta kyseessä on varsin helppo operaatio. Kriden ensimmäinen viesti aiheeseen tiivistää kaiken olleellisen, enkä rupea samoja asioita tässä toistamaan. Osalle tämä ei kuitenkaan tahdo mennä perille, niin annan lisäperusteluja kysymyksen muodossa. Miten imukuppi toimii? Kaikenlainen saivartelu siitä, että tilanne ei ole sama on turhaa. Tehtävän annosta käy selvästi ilmi, että juuri tätä siinä haetaan. Kyseessä on siis melko tyypillinen yo-tehtävä. Laskut ovat helppoja, mutta tilanne pitää sisäistää täysin. Tällä kertaa testattiin, että ymmärtääkö, mistä noste oikeasti johtuu ja näyttää pahasti siltä, että suurimmalle osalle se on varsin epäselvää.

 

[Ramppa]

Sitten itse asiaan, eli tynnyriin ei kyseisessä tilanteessa kohdistu nostetta. Väännetään nyt siis rautalangasta TYNNYRIN POHJASSA OLEMINEN VAIKUTTAA NOSTEESEEN juurikin siten, että nostetta ei ole. Tämäkin olisi selvinnyt helposti, jos ymmärtää miten nosteen yhtälö on johdettu.

Kappaleen, joka on upotettuna nesteeseen/kaasuun noste voidaan ketterästi laskea arkhimedeen lain mukaan. Tarvittavat suureet ovat nesteen (tässä tapauksessa veden) tiheys, kappaleen tilavuus ja putoamiskiihtyvyys. Kerroppa minkälaisen suureen lisäät tai minkä suureen muutat/poistat, jotta tapaus koskee pohjassa olevaa kappaletta?

Jos painan vaikkapa tasapohjaisen styroks (veden tiheyttä pienemmän tiheyksisen) kappaleen ammeessa pinnan alle, siihen kohdistuu nostevoima, kunnes painan kappaleen ammeen pohjaan ja noste simbsalabim katoaa ja kappale jää ammeen pohjaan, vai?

Osalle tämä ei kuitenkaan tahdo mennä perille, niin annan lisäperusteluja kysymyksen muodossa. Miten imukuppi toimii? Kaikenlainen saivartelu siitä, että tilanne ei ole sama on turhaa.

Imukupin toiminnan ymmärrän, mutta voisitko kuitenkin selittää sen minulle, jotta saisin vielä siitäkin varmuuden

 

[Akilles]

Niin se virhe on juuri siinä, että tuijottaa pelkästään jotain arkhimedeen lakia, eikä ymmärrä mistä se tulee. Nosteessahan ei ole varsinaisesti kysymys siitä miten paljon väliainetta kappale syrjäyttää (yhtälö voidaan tosin johtaa tähän muotoon) vaan siitä millaiset paine-erot kappaleeseen vaikuttavat. Yksinkertaisuuden vuoksi oletetaan sylinterin muotoinen kappale. Tiedetään, että voima on paine kertaa pinta-ala. Sylinterin sivuihin vaikuttavat voimat ovat yhtä suuret ja kumoavat toisensa. Ylä- ja alapäätyyn vaikuttaa kuitenkin eri paine, joka siis aiheuttaa nettovoiman pienemmän paineen suuntaan. Tämä nosteeksi kutsuttu voima on yhtä suuri kuin kappaleen syrjäyttämän väliaineen paino, mikä on helppo todeta, jos tuon kaavan pyörittelee esim. sylinterin tapauksessa. Nyt on huomionarvoista, että kaavan johdossa oletetaan, että myös kappaleen pohjaan vaikuttaa paine. Kyseissä yo-tehtävässä kappale on tiiviisti pohjassa, jolloin se ei kosketa vettä, eli tynnyrin pohjaan ei vaikuta suurempi väliaineen paine kuin kanteen ja nostetta ei synny. Itseasiassa tynnyri painautuu vielä voimakkkaammin pohjaan kanteen vaikuttavan paineen aihettaman voiman takia. Tärkeätä tässä on tehdä tuo ideaalinen oletus siitä, mitä tarkoittaa, kun kappale on pohjassa kiinni.

Nyt tähän muka nokkelaan styroks esimerkkiin. Jos oletetaan, että styroks kappale on äärettömän sileä kuten myös ammeen pohja ja styroks pala painetaan pohjaan niin, että se syrjäyttää kaiken veden niiden välistä niin käy todellakin niin, että kappale jää pohjaan kiinni. Lienee selvää, että näin ei reaalimaailmassa voi käydä, ellei tuota styroksia modata jotenkin enemmän imukuppimaiseksi. Lisäksi kappaleen muodolla on väliä. Kaikenlaiset ulokkeet aihettavat nostetta, vaikka kappale olisikin ideaalisesti pohjassa kiinni. Pitäisi jo tässä vaiheessa olla selvää miksi näin on.

Tästä päästäänkin tuohon imukuppiin. Kun imukuppi painetaan johonkin pintaan kiinni, jää sen alapuolelle pienempi paine kuin yläpuolelle. Nyt siis paine-eron aihettama nettovoima on taas pienempään paineeseen päin aivan kuten nosteessakin, mutta voiman suunta on siis pintaan päin, jossa imukuppi on kiinni. Ideaalisesti imukupin alapuolella on tyhjiö, jolloin esim. pöydässä kiinni olevan imukupin irrottamiseen tarvitaan voima joka on imukupin paino + ilmamassan paino, joka on imukupin yläpuolella (= imukupin projektion pinta-ala kertaa paine) Jos nyt vaihdat tuon imukupin tilalle tuon yo-tehtävän tynnyrin, niin tilanne on vastaava. Ideaalisesti siis mikä tahansa esine voi toimia imukuppimaisesti.

 

[Henchman]

^Näinhän se on. Eli väärässä olin, mutta kerta se on ensimmäinenkin:D

 

[zipa]

te ette nyt ymmärrä alkuunkaan ehdollista todennäköisyyttä

Vanha juttu jo, mutta pakko lisätä omat sormeni tähän soppaan joka tuntuu tuottavan hirveästi harmaita hiuksia foorumin väelle...

Tässähän ei nimenomaan ole kyse mistään ehdollisesta todennäköisyydestä, sillä tuo todennäköisyys P("tyttö avaa oven") on jo annettu, ja se on P(1). Tehtävä on analoginen seuraavan tehtävän kanssa:

"Perheessä on kaksi lasta, joista toinen on tyttö. Millä todennäköisyydellä toinen lapsi on poika?"

 

[xeuz]

Kompastuin näin helppoon tehtävään, osaatte varmaankin ratkaista:

Luokkaretken bussimatkan hinta 1800€ oli tarkoitus jakaa tasan matkalle lähtijöiden kesken. Matkalle ilmoittautuneista jäi pois neljä oppilasta, jolloin mukaan lähteneiden kustannukset nousivat 5 € hengeltä. Kuinka monta henkilöä matkalle alunperin oli ilmoittautunut?

 

[Integrandi]

Kompastuin näin helppoon tehtävään, osaatte varmaankin ratkaista:

Luokkaretken bussimatkan hinta 1800€ oli tarkoitus jakaa tasan matkalle lähtijöiden kesken. Matkalle ilmoittautuneista jäi pois neljä oppilasta, jolloin mukaan lähteneiden kustannukset nousivat 5 € hengeltä. Kuinka monta henkilöä matkalle alunperin oli ilmoittautunut?

Tämä kun on selkeästi sun kotitehtävä niin koitapa vain pähkäillä. Tässä vähän vinkkiä:

Merkkaa noita tuntemattomia symboleilla:

- alun perin ilmoittautuneiden määrä = M
- kustannukset alussa per matkustaja = K

Nyt voit alkaa pyörittelemään yhtälöitä seuraavilla havainnoilla:

- kustannukset alussa per matkustaja = 1800/M
- lopullinen matkustajamäärä = M-4
- kustannukset uusilla matkustajamäärillä = 1800/(M-4)

Näillä tuo jo melkein ratkeaa..

 

[xeuz]

Kiitos. eiköhän se näillä selviä.

tosin ei ole oma kotitehtävä. Pitäs tällaiset itse osata jo tässä vaiheessa

 

[Mattih3]

Niin se virhe on juuri siinä, että tuijottaa pelkästään jotain arkhimedeen lakia, eikä ymmärrä mistä se tulee. Nosteessahan ei ole varsinaisesti kysymys siitä miten paljon väliainetta kappale syrjäyttää (yhtälö voidaan tosin johtaa tähän muotoon) vaan siitä millaiset paine-erot kappaleeseen vaikuttavat. Yksinkertaisuuden vuoksi oletetaan sylinterin muotoinen kappale. Tiedetään, että voima on paine kertaa pinta-ala. Sylinterin sivuihin vaikuttavat voimat ovat yhtä suuret ja kumoavat toisensa. Ylä- ja alapäätyyn vaikuttaa kuitenkin eri paine, joka siis aiheuttaa nettovoiman pienemmän paineen suuntaan. Tämä nosteeksi kutsuttu voima on yhtä suuri kuin kappaleen syrjäyttämän väliaineen paino, mikä on helppo todeta, jos tuon kaavan pyörittelee esim. sylinterin tapauksessa. Nyt on huomionarvoista, että kaavan johdossa oletetaan, että myös kappaleen pohjaan vaikuttaa paine. Kyseissä yo-tehtävässä kappale on tiiviisti pohjassa, jolloin se ei kosketa vettä, eli tynnyrin pohjaan ei vaikuta suurempi väliaineen paine kuin kanteen ja nostetta ei synny. Itseasiassa tynnyri painautuu vielä voimakkkaammin pohjaan kanteen vaikuttavan paineen aihettaman voiman takia. Tärkeätä tässä on tehdä tuo ideaalinen oletus siitä, mitä tarkoittaa, kun kappale on pohjassa kiinni.

Nyt tähän muka nokkelaan styroks esimerkkiin. Jos oletetaan, että styroks kappale on äärettömän sileä kuten myös ammeen pohja ja styroks pala painetaan pohjaan niin, että se syrjäyttää kaiken veden niiden välistä niin käy todellakin niin, että kappale jää pohjaan kiinni. Lienee selvää, että näin ei reaalimaailmassa voi käydä, ellei tuota styroksia modata jotenkin enemmän imukuppimaiseksi. Lisäksi kappaleen muodolla on väliä. Kaikenlaiset ulokkeet aihettavat nostetta, vaikka kappale olisikin ideaalisesti pohjassa kiinni. Pitäisi jo tässä vaiheessa olla selvää miksi näin on.

Tästä päästäänkin tuohon imukuppiin. Kun imukuppi painetaan johonkin pintaan kiinni, jää sen alapuolelle pienempi paine kuin yläpuolelle. Nyt siis paine-eron aihettama nettovoima on taas pienempään paineeseen päin aivan kuten nosteessakin, mutta voiman suunta on siis pintaan päin, jossa imukuppi on kiinni. Ideaalisesti imukupin alapuolella on tyhjiö, jolloin esim. pöydässä kiinni olevan imukupin irrottamiseen tarvitaan voima joka on imukupin paino + ilmamassan paino, joka on imukupin yläpuolella (= imukupin projektion pinta-ala kertaa paine) Jos nyt vaihdat tuon imukupin tilalle tuon yo-tehtävän tynnyrin, niin tilanne on vastaava. Ideaalisesti siis mikä tahansa esine voi toimia imukuppimaisesti.

Tuo oletus, että tynnyri olisi täysin tiiviisti järven pohjassa siten, että nostetta ei olisi, on kyllä täysin absurdi. En ymmärrä, miksi fysiikan tehtävässä pitäisi tehdä noin järjen vastainen oletus. Tee vaikka koe, jossa mallinnat tätä ilmiötä, ja olen aika varma että huomaat nosteen säilyvän vaikka kappale osuu pohjaan.

 

[Akilles]

Tuo oletus, että tynnyri olisi täysin tiiviisti järven pohjassa siten, että nostetta ei olisi, on kyllä täysin absurdi. En ymmärrä, miksi fysiikan tehtävässä pitäisi tehdä noin järjen vastainen oletus. Tee vaikka koe, jossa mallinnat tätä ilmiötä, ja olen aika varma että huomaat nosteen säilyvän vaikka kappale osuu pohjaan.

Miten paljon se tynnyri sitten sitä pohjaa koskettaa? Nythän on nimittäin niin, että noste pienenee suoraan verrannollisesti siihen miten paljon tynnyrin pohjasta on ideaalisesti peitossa. Ääripäät ovat tietenkin se, että tynnyri kelluu väliaineessa tai se on täysin tiivisti pohjassa. Selvää on, että reaalimaailmassa tuollainen tynnyri ei voi käyttäytyä ideaalisen imukupin tavoin, mutta pitäisi olla myös selvää, että ei se tynnyri voi kokonaan irti pohjasta olla, jos se siellä pohjassa kuitenkin on. Eli tällöin väistämättä tynnyriin ei kohdistu täyttä nostetta. Koska tätä on mahdotonta arvioida, niin on parasta olettaa, että tynnyri on täysin ideaalisesti pohjassa. Sehän se vasta järjetöntä olisikin väittää, että tynnyri ei kosketa pohjaa, jos tehtävänannossa toisin sanotaan.

Oletus on muutenkin kaukana absurdista. Mutainen järven pohja on omiaan muodostamaan ihan kelvollisen tiivisteen tynnyrin pohjaan, jolloin noste voi ihan oikesti pudota huomattavasti.

Lukion fysiikassa on yleistä olettaa ilmiöt ideaalisiksi. Jos näin ei tehdä, matematiikka vaikeutuu huomattavasti ja herää kysymys missä määrin epäideaalinen ilmiö sitten on. Koska esim. kyseisessä laskussa epäideaalisuuden määrää on mahdotonta arvioida tarkasti, niin on kaikesta järkevintä olettaa täysin ideaalinen tilanne.

Lisäksi alkuperäinen kysymys liittyi mielestäni siihen, miksi malliratkaisussa ei ole huomioitu nostetta ja sitä olen tässä yrittänyt selittää. Se mitä oikeasti tapahtuu on usein aivan toinen juttu.

Tuohon viimeiseen lauseeseen ilmiön testaamisesta on kommentoitava sen verran, että kyseessä ei todellakaan ole pelkkä matemaattinen kikkailu. Noste pienenee ihan oikeasti, kun kappale koskettaa pohjaa. Se missä määrin näin tapahtuu riippuu tietenkin tilanteesta. Heittämällä käsipaino ammeeseen vaikutus on mitätön, mutta sileä lasipohja, imukuppi ja tyhjiöpumppu riittävät jo pitkälle.

 

[Mattih3]

Tynnyrin ja imukupin oleellisin ero on se, että tynnyri on jäykkä ja imukuppi ei. Imukuppi pystyy siis muuttamaan muotoaan ja siten muodostamaan tiiviin kontaktin pohjan kanssa, tynnyri ei. Väitän, että noste on tynnyrin tapauksessa tyypillisesti lähempänä maksimia (eli tilannetta, jossa pohjakontaktia ei ole) kuin nollaa. Siksi parempi approksimaatio olisi täyden nosteen raja. Mutta tuo nyt oli laskettu niin kuin oli, eli sinun puolellasi tämä "auktoriteetti" eli ylioppilastutkintolautakunta tässä on.

Jos joku tahtoo suorittaa mittauksia erilaisilla tynnyreillä ja järvenpohjilla, niin tulokset sitten tänne.:D

 

[Cakke]

Jepsus..

En usko kyllä sekunttiakaan, että YO-lautakunnalla oli mielessään noste tai saatika sen puuttuminen.

Eikös tehtävä ole yksinkertainen:

Tynnyri on paikallaan -> F(tynnyri ylöspäin) = F(tynnyri alaspäin) = F(paineen vaikutus tynnyrin yläpäähän) + F(tynnyriä vetävä painovoima)

Se, onko se tynnyriä ylöspäin työntävä voima nyt nostetta vai maan aiheuttamaa tukivoimaa (todennäköisesti näiden kahden summa), ei ole merkityksellistä.

 

[jokeli]

Cakkelta tuli mielestäni oikea vastaus. Kun tehtävässä ei edes sanota, että onko tynnyri pohjassa, niin ei todellakaan missään yo-kokeessa tarvitse ruveta pohtimaan nosteen syvintä olemusta. Oletus, että voimien summa on nolla antaa yksiselitteisesti vastauksen kysymykseen. Kun vielä kysyttiin pohjaan vaikuttavaa voimaa, eikä mitään yksittäistä voimaa, niin ei ole väliä onko kyseessä summavoima vai ei. Voimakuvion piirtmäminen auttaa.

E: no sanottiin se sittenkin, että on pohjassa. Mutta silti se menee noin, kun nostetta ei voi oikein laskea.

 

[Akilles]

Nyt, kun tarkistin tuon tehtävänannon niin, koska siinä kysytään pohjaan vaikuttavaa ulkoista voimaa (eikä pohjan tukivoimaa kuten luulin) niin asia on juurikin noin kuten Cakke sanoo.