Matemaattinen ongelma tai jotain

  • Keskustelun aloittaja Keskustelun aloittaja Nor
  • Aloitettu Aloitettu
Toinen mahdollisuus on tehdä taulukko ja katsoa siitä

kun alussa on vettä 0,8a sokeria 0,04a ja muuta 0,16a,
niin kuivauksen jälkeen vettä on 0,2a ja sokeri+muut on 0.8a

Sokerin ja muun suhde ei muutu kuivauksessa, joten sokeria ja muuta on suhteessa 1:4 eli sokeria on 0.8/5 = 0.16 = 16%
 
Viittiskö joku heittää seuraavaan tehtävään malliratkaisun?

"Todista induktiolla, että n^2-1 on jaollinen kahdeksalla, kun n on pariton luonnollinen luku"

Tuommonen oli tänään matikan kokeessa. Luulen, että osasin, mutta varmistusta kaipaisi. :)
 
jokeli sanoi:
Viittiskö joku heittää seuraavaan tehtävään malliratkaisun?

"Todista induktiolla, että n^2-1 on jaollinen kahdeksalla, kun n on pariton luonnollinen luku"

Tuommonen oli tänään matikan kokeessa. Luulen, että osasin, mutta varmistusta kaipaisi. :)
Click to expand...
Koodi: 
n^2-1, n on pariton luonnollinen luku =! 1 => n=2a+1, a={N}

Perusaskel a=1
(2*1+1)^2-1 = 3^2-1 = 8 => OK!

Induktio-oletus a=k
(2k+1)^2-1 = 4k^2+4k = 8c, c={N}

Induktioaskel a=k+1
(2(k+1)+1)^2-1 = (2k+3)^2-1 = 4k^2+12k+9-1 = 4k^2+4k+8k+8, käytetään induktio-oletusta 4k^2+4k = 8c
8c+8k+8 = 8(c+k+1) M.O.T.
 
En jaksa katsoa onko tämä ollut täällä jo...
Todistellaanpa jotain:

a = b
a^2 = ab
a^2 + a^2 = a^2 + ab
2a^2 = a^2 + ab
2a^2 -2ab = a^2 +ab -2ab
2(a^2-ab) = 1(a^2-ab)
2 = 1
Missä virhe? :)
 
mites tuossa induktiossa, kun itekkin päädyin tuohon 4k^2+12k+8 lauseeseen ja muutin sen muotoon 4k(k+3)+8 ja tästä totesin, että k tai k+3 on parillinen, eli jaollinen kahdella, joten 4k(k+3) on jaollinen kahdeksalla, ja kun siihen kasin lisää niin on se sitä edelleen. Eli onko siitä haittaa, että en käyttänyt tuota ind. oletusta tuossa hyödyksi?

e: lisää "matemaattisia" todistuksia, jotka ovat yhtä päteviä, kuin funcin laittama todistus: http://hikipedia.info/wiki/Hikikirjasto:Uusi_matematiikka :)
 
jokeli sanoi:
mites tuossa induktiossa, kun itekkin päädyin tuohon 4k^2+12k+8 lauseeseen ja muutin sen muotoon 4k(k+3)+8 ja tästä totesin, että k tai k+3 on parillinen, eli jaollinen kahdella, joten 4k(k+3) on jaollinen kahdeksalla, ja kun siihen kasin lisää niin on se sitä edelleen. Eli onko siitä haittaa, että en käyttänyt tuota ind. oletusta tuossa hyödyksi?
Click to expand...
Tuo annettu lause on helppo todistaa myös ilman induktiota. Kuitenkin induktiotodistukseen kuuluu vaiheet
1. jos pätee 0 € A ja
2. n € A => n+1 € A, niin A=N
("€": kuuluu joukkoon)

Tehtävänanto on aika yksiselitteinen. Jos nimenomaan pyydetään ratkaisua käyttämällä induktiota, on mielestäni muut ratkaisut silloin väärin, tai eivät ainakaan tuota täysiä pisteitä. Sitä paitsi, en ymmärrä miten tuosta esittämästäsi ratkaisusta voitaisiin päätellä 8:lla jaollisuutta.

Jos nimittäin 4k tai k+3 on parillinen, niin niiden tulo on parillinen. Mitään muuta siitä ei voida päätellä, sillä kaikki parilliset luvut eivät ole jaollisia 8:lla. Toisaalta jos mihin tahansa parilliseen lukuun lisätään 8, tulos ei ole aina jaollinen kahdeksalla. Eli vastauksena kysymykseesi: et noudattanut tehtävänannon mukaista ratkaisuperiaatetta, eikä esittämäsi vaihtoehtoinen ratkaisu anna oikeaa tulosta.:D Kai tuosta voi silti jotain pisteitä saada.
 
Vorna sanoi:
Tuo annettu lause on helppo todistaa myös ilman induktiota. Kuitenkin induktiotodistukseen kuuluu vaiheet
1. jos pätee 0 € A ja
2. n € A => n+1 € A, niin A=N
("€": kuuluu joukkoon)

Tehtävänanto on aika yksiselitteinen. Jos nimenomaan pyydetään ratkaisua käyttämällä induktiota, on mielestäni muut ratkaisut silloin väärin, tai eivät ainakaan tuota täysiä pisteitä. Sitä paitsi, en ymmärrä miten tuosta esittämästäsi ratkaisusta voitaisiin päätellä 8:lla jaollisuutta.

Jos nimittäin 4k tai k+3 on parillinen, niin niiden tulo on parillinen. Mitään muuta siitä ei voida päätellä, sillä kaikki parilliset luvut eivät ole jaollisia 8:lla. Toisaalta jos mihin tahansa parilliseen lukuun lisätään 8, tulos ei ole aina jaollinen kahdeksalla. Eli vastauksena kysymykseesi: et noudattanut tehtävänannon mukaista ratkaisuperiaatetta, eikä esittämäsi vaihtoehtoinen ratkaisu anna oikeaa tulosta.:D Kai tuosta voi silti jotain pisteitä saada.
Click to expand...

Itseasiassa täydet pisteet tuosta räpsähti. :D

sanoin, että joko k tai k+3 on jaollinen kahdella ja kun tämä kerrotaan neljällä, voi 4k(k+3) supistaa kahdeksalla, tämä on mielestäni (ja opettajan mielestä) ihan yksiselitteistä. ja kyllä minun tietääkseni joka kahdeksas luku on jaollinen kahdeksalla, joten miten voi muka olla tilanne, jossa kahdeksalla jaolliseen lukuun lisätään kahdeksan, saataisiin kahdeksalla jaoton luku? :confused:

Ja nuo induktion ensimmäiset vaiheet, eli n=1 tarkistus ja ind. oletus n=k ja väite n=k+1 olivat kyllä tehtävässäni mukana.
 
Kyllähän tuosta täydet pisteet pystyi antaa. Lausekkeessa 4k(k+3)+8 tulontekijöistä k ja k+3=(k+2)+1 toisessa on joka tapauksessa tekijänä 2, joten neljällä kerrottaessa saadaan kahdeksalla jaollinen luku.
 
func sanoi:
En jaksa katsoa onko tämä ollut täällä jo...
Todistellaanpa jotain:

a = b
a^2 = ab
a^2 + a^2 = a^2 + ab
2a^2 = a^2 + ab
2a^2 -2ab = a^2 +ab -2ab
2(a^2-ab) = 1(a^2-ab)
2 = 1
Missä virhe? :)
Click to expand...

Jos a = b, niin silloin a^2-ab = a^2-a^2 = 0 ja sillä ei voi jakaa kuten aiemmin mainittiin
 
jokeli sanoi:
Ja nuo induktion ensimmäiset vaiheet, eli n=1 tarkistus ja ind. oletus n=k ja väite n=k+1 olivat kyllä tehtävässäni mukana.
Click to expand...
Ok, ymmärsin väärin, oletin että olit perustellut 4k itsessään olevan pariton/parillinen ja että tuo oletus puuttui ratkaisustasi kokonaan.
 
No jos tuo oli helppo niin kokeilkaa vaikka tätä:
808c507d892ed766ee516bfa5f009c60.png
:lol2:
 
func sanoi:
No jos tuo oli helppo niin kokeilkaa vaikka tätä:
808c507d892ed766ee516bfa5f009c60.png
:lol2:
Click to expand...
Tämä on helppo. Mulla löytyy tähän muutamakin vaihtoehtoinen ratkaisu, jotka johdin samalla, kun todistin Riemannin hypoteesin ja löysin kaavan alkuluvuille.

Olen myös ratkaissut Goldbachin konjektuurin ja keksinyt ratkaisun maailman köyhyyteen. Lisäksi tiedän elämän tarkoituksen ja vuoden 2015 Mr. Olympian voittajan.
 
Osaako kukaan selittää kuinka lasketaan todennäköisyys seuraavassa tehtävässä: Kun heitetään noppaa kaksi kertaa peräkkäin,mikä on todennäköisyys, että ainakin toinen heitoista on 1?
Tämä ei ollut minulle ainakaan niin helppo kun aluksi kuvittelin.Enkä tiedä varmasti oikeaa vastausta vieläkään. Mielestäni oikea ratkaisu ei ole ainakaan 1/6 + 1/6=2/6 (tämä tuli ensin mieleen) koska tuolla kaavalla 6 heiton jälkeen todennäköisyys olisi jo 1 eli varma. Sen täytyy toisaalta olla suurempi kun 1/6,koska on kaksi mahdollisuutta.
On varmaan todennäköisyyslaskentaan perehtyneille aika perusjuttu, mutta jos sen joku voisi minullekin rautalangasta vääntää.
 
lasket vaan sen vastatodennäköisyyden, millä kummastakaa ei tule ykköstä :D

Eli 1-(5/6* 5/6)

Tai noin ainakin muistaisin tehneeni joskus, ja kuuden heiton jälkeen todennäköisyys ei ole yks...:rolleyes:

Edit: eiku joo, sori luin ton vähä hätäseen ton sun viestin.
 
roope sanoi:
Osaako kukaan selittää kuinka lasketaan todennäköisyys seuraavassa tehtävässä: Kun heitetään noppaa kaksi kertaa peräkkäin,mikä on todennäköisyys, että ainakin toinen heitoista on 1?
Tämä ei ollut minulle ainakaan niin helppo kun aluksi kuvittelin.Enkä tiedä varmasti oikeaa vastausta vieläkään. Mielestäni oikea ratkaisu ei ole ainakaan 1/6 + 1/6=2/6 (tämä tuli ensin mieleen) koska tuolla kaavalla 6 heiton jälkeen todennäköisyys olisi jo 1 eli varma. Sen täytyy toisaalta olla suurempi kun 1/6,koska on kaksi mahdollisuutta.
On varmaan todennäköisyyslaskentaan perehtyneille aika perusjuttu, mutta jos sen joku voisi minullekin rautalangasta vääntää.
Click to expand...

Yleensä melko helppo tapa on laskea (suotuisten tapausten lukumäärä)/(kaikkien tapausten lukumäärä).
Tässä tehtävässä tämä onnistuu helposti vaikka piirtämällä taulukko, jossa sivuilla on nopan silmäluku yhden heiton osalta. Sitten vaan taulukosta katsotaan, että monessako alkiossa ainakin toinen nopan silmäluvuista on yksi. Yritän vääntää tuon taulukon tähän...

_|1 2 3 4 5 6
1 x x x x x x
2 x 0 0 0 0 0
3 x 0 0 0 0 0
4 x 0 0 0 0 0
5 x 0 0 0 0 0
6 x 0 0 0 0 0

Näet, että ainakin toinen silmäluvuista on yksi 11 tapauksessa. Yhteensä erilaisia tapauksia on 36, eli
lopullinen tulos on 11/36.


Yleispätevämpi tapa on ymmärtää vähän kaavoja. Kaikissa tehtävissä ei nimittäin aina pysty piirtämään havainnollistavia taulukoita. "Ainakin..." -tyyppisissä tehtävissä todennäköisyys löytyy yleensä kaavalla: 1 - (komplementtitapahtuman todennäköisyys). Eli tässä tehtävässä: 1 - "kumpikaan silmäluvuista ei ole yksi". Yhden heiton osalta todennäköisyys "ei 1" on 5/6. Kahden heiton osalta todennäköisyys (5/6)^2. Lopputulos on siten 1 - (5/6)^2 = 1 - 25/36 = (36-25)/36 = 11/36

Ja vielä yksi tapa:
Käyttämäsi idean kautta päästään liikkeelle, mutta pitää vielä muistaa, että tuossa tapauksessa todennäköisyys sille, että molemmat silmäluvut ovat yksi tulee lasketuksi kahteen kertaan kun summaat 1/6 + 1/6. Tästä saadaan oikea vastaus, kun vähennetään toinen kahteen kertaan lasketuista todennäköisyyksistä, eli 1/36. Tuota taulukkoa tuijottamalla varmaankin aukeaa, mistä tämä tulee. Eli lopputuloksena: 1/6 + 1/6 - 1/36 = 2/6 - 1/36 = 12/36 - 1/36 = (12-1)/36 = 11/36

Toivottavastia aukeaa.:)
 
Kiitti Jake nopeasta vastauksesta. Noin se varmaan menee.Pitää vielä vähän aikaa miettiä, että tajuan kunnolla ton jutun. Tuolla sun kaavalla kyllä vissiin koko ajan lähestytään 1:stä kuitenkaan koskaan saavuttamatta sitä, eli just niinkun pitääkin.
Joo ja kiitti myös MacGyver! Tuli tuo sun viesti just tässä välissä kun kirjoittelin. Kyllä tuo nyt menee jakeluun Kiitos!
 
Tämä tehtävä nyt liittyy lähinnä sähkötekniikkaan eikä matematiikkaan, mutta laitetaan nyt silti tänne. Mikä on sinisignaalin,jonka amplitudi on 4,5V ja offset -3 V, tehollisarvo?
 
zuhi sanoi:
Tämä tehtävä nyt liittyy lähinnä sähkötekniikkaan eikä matematiikkaan, mutta laitetaan nyt silti tänne. Mikä on sinisignaalin,jonka amplitudi on 4,5V ja offset -3 V, tehollisarvo?
Click to expand...
Vaihtojänniteosuuden tehollisarvo on 4.5/sqrt(2) Volttia ja tasajänniteosuuden tehollisarvo on offsetin itseisarvo eli 3 volttia. Nämä lasketaan neliöllisesti yhteen eli yhteensä tehollisarvo on sqrt((4.5/sqrt(2))^2+3^2) eli noin 4.37 Volttia.
 
Back
Ylös Bottom